用绝对值的几何意义轻松求解最值问题,学霸秘籍

2020-11-14 14:00 中学数学深度研究

如果问初一学生有理数哪部分内容最难,相信很多学生会回答,绝对值!今天让我们一起梳理绝对值的知识点和解题方法,帮学生轻松攻克绝对值!

绝对值有两个意义:

(1)代数意义:非负数(包括零)的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数。即|a|=a(当a≥0) , |a|=-a (当a<0)

(2)几何意义:一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。

灵活应用绝对值的基本性质:

(1)|a|≥0;(2)|ab|=|a|·|b|;(3)|a/b|=|a|/|b|(b≠0)(4)|a|-|b|≤ |a+b|≤|a|+|b|;(5)|a|-|b|≤ |a-b|≤|a|+|b|;

用绝对值的几何意义轻松求解最值问题,学霸秘籍

点A、B在数轴上分别对应的数为a、b,则A、B两点间的距离表示为|AB|=|a-b|,利用绝对值的距离公式找最小值,是考试中的一个难点。现在跟随老师的脚步,从特色到一般出发,一起探究做此题的套路吧,这一类题就都可以解决啦!

【问题提出】|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|最小值是多少?

【阅读理解】

为了解决这个问题,我们先从最简单的情况入手.|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离.那么|a﹣1|可以看做a这个数在数轴上对应的点到1的距离;|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和.下面我们结合数轴研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值.

我们先看a表示的点可能的3种情况,如图所示:

(1)如图①,a在1的左边,从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1.

(2)如图②,a在1和2之间(包括在1,2上),可以看出a到1和2的距离之和等于1.

(3)如图③,a在2的右边,从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1.

【问题解决】

(1)|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是______.请你结合数轴探究:|a﹣2|+|a﹣5|的最小值是_____.

(2)|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是_____.请你结合数轴探究:|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是 ______,并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置,由此可以得出a为 ______.

(3)求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值.

(4)求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|的最小值.

【拓展应用】

请在图⑤的数轴上表示出a,使它到2,5的距离之和小于4,并直接写出a的范围.

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【分析】(1)根据绝对值的几何意义结合数轴即可求解;

(2)由题意可得出,取中间值a=2时,求得最小值;

(3)由题意可得出,取中间值a=3时,求得最小值;

(4)由题意可得出,取中间值a=1010时,求得最小值.

【解答】(1)|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和;

当a在5和2之间时(包括在5,2上),

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可以看出a到5和2的距离之和等于3,

此时|a﹣2|+|a﹣5|取得最小值是3;

故答案为:a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和;3.

(2)|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和.

当a取中间数时,绝对值最小,|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是1+0+1=2;

如图所示:

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故答案为:a这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和;2;2.

(3)当a取中间数3时,绝对值最小,

|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值是:2+1+0+1+2=6.

(4)当a取中间数1010时,绝对值最小,

|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|…+|a﹣2019|的最小值为:

1009+1008+1007+…+1+0+1+2+3+…+1009=1009×(1009+1)=1019090.

【点评】此题主要考查了绝对值的性质,解这类问题的基本步骤是:求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0,得若干个绝对值为零的点,这些点把数轴分成几个区间,再在各区间内化简求值即可.

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牛刀小试:

上面的例题你学会了吗?那么我们来挑战一下自己吧!

1、若|a|=a+1,|x|=2ax,且|x+1|+|x-5|+2|x-m|的最小值是7,则m等于多少?

2、如图,一条街道旁有五幢居民楼.某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表:

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他们计划在这条街道上租赁一间门市房,设立大桶水供应点.若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小,可以选择的地点应在什么地方?

【反思】理解绝对值的几何意义是关键.结合数轴求两点之间的距离,形象直观,渗透数形结合的思想.求x到n个点距离和的最小值总结:(1)如果有奇数个点,当动点处在最中间那个点的位置时,它到所有点的距离之和最小。(2)如果有偶数个点,当动点处在最中间的两个点之间时,它到所有点的距离之和最小。用一句话来记忆,就是奇中偶范。即奇数个点时,取最小值是在最中间的点。偶数个点时,取最小值是在最中间的两个点之间的范围内都可以。

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常用解题方法:(1)化简绝对值:分类讨论思想(即取绝对值的数为非负数和负数两种情况);(2)运用绝对值的几何意义:数形结合思想,如绝对值最值问题等。(3)零点分段法:求零点、分段、区段内化简、综合。

希望孩子们通过此次对绝对值的学习能够逐渐形成分类讨论的思想,利用数形结合等方法慢慢培养自己的观察、模仿、总结的能力,在新初一有个好的开始哟。

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