我们总听说微积分啊微积分，好像非常高大上。

但根据人的天性，我们在学习之前，往往会有一个疑问：

微积分能解决哪些问题？

求瞬时速度（导数）

所谓速度，就是我们跑步时候“快慢”的那个速度。

假设，小明沿直线匀速向前跑步，第1秒离出发点3米，第2秒离出发点6米，依此类推。

那么，显然，小明的速度是3米每秒。

之所以如此容易计算，是因为小明是匀速奔跑，距离和时间的关系是：

s = 3t

显然，直线的斜率是很好求的。

然而，如果小明跑步不是匀速直线，而是变速直线呢？比如：

s = t²

那么，距离和时间的曲线就变成了这样：

这时，显然，每一“瞬间”都有一个速度。

但是，怎么计算出这个速度呢？

另外，更基础的是，如何定义“瞬间”呢？

本专栏会给出答案。

求位置（不定积分，或称为反求导）

这个问题是上文求瞬时速度的逆问题。

假设，已知小明沿直线跑步每时每刻的速度是：

v = t²

那么，如何计算小明每时每刻的位置（起跑时t = 0，起跑点s = 0）。

本专栏给出了答案。

求里程、求面积（定积分）

这个问题与以上的问题有微妙的差别和联系。

同样，假设，已知小明沿直线跑步，每时每刻的速度是：

v = t²

那么，小明在5秒至6秒间跑了多远？

这个问题等效于求一个曲边图形的面积，本专栏也会为大家深入剖析。

求弧长

所谓弧长，听起来高大上，通俗地说就是“线段的长度”。

比如，对于函数：

y = 3，x≥0

其函数图像是一条水平的射线。

那么，假设我们要计算0≤x≤1这一段的弧长：

不用算了，显然，弧长s=1。

又例如，对于函数：

y = 3x，x≥0

其函数图像是一条倾斜的射线。

假设，我们要计算0≤x≤1这一段的弧长：

也很显然：

s² = 1² + 3²

因此：

s=√10

上面两个例子之所以这么好算，是因为它们都是“直”的。

但是，如果线段是“弯”的呢？比如，对于函数：

y = x²，x≥0

假设，我们要计算0≤x≤1这一段的弧长：

怎么算？它是弯的啊。

微积分可以算这种弯曲的弧的长度，本专栏将给出方法和背后的原理。

求质量

假设一根铁丝，密度不是均匀的，即有的部分比较“致密”，比如铅；而有的部分比较“轻盈”，比如塑料。

那么，如果已知每一处的密度，如何求其质量？

这就是“曲线积分”的概念，本专栏也会介绍。

近似平方

假设，我们手上没有计算器。

现在需要笔算：

1.02334² = ？

如果直接计算，似乎比较复杂、比较耗时。但是，如果用微分，我们就可以直接看出近似的结果。

口算开方

又比如，1附近的开方运算：

如果直接计算，也是比较复杂。

但是，我们可以用微分简化计算，直接看出结果。

总结

微积分的应用远不止这些，还有梯度、旋度、散度等多元函数微积分中的概念，都是非常精彩的。

如果感兴趣，无论你是高中生还是本科生，无论工科生还是文科生，都能从本专栏的实例中获益，微积分将为你提供另一个看待世界的角度。

订阅本专栏，一起开始这段轻松而又富有内涵的数学之旅吧！微积分从此不再是一个冰冷的名词。